Faremo questa volta conoscenza con un grande matematico che ha rivoluzionato la geometria e influenzato molti altri campi della conoscenza, ma è universalmente riconosciuto come il padre di quegli strambi oggetti geometrici chiamati frattali.
Sì, avete capito bene, stiamo parlando proprio di lui, Benoit Mandelbrot, scienziato franco-polacco che pur essendo un matematico di formazione, avrebbe meritato il Nobel per l’Economia alla stregua di John Nash, il protagonista del film “A Beautiful Mind”. Aspirò tutta la vita a ottenere un così importante e meritato il riconoscimento, purtroppo senza successo.
La biografia di Mandelbrot non è lineare: nacque a Varsavia nel 1924 da famiglia ebraica, madre medico, padre uomo d’affari. Uno dei suoi zii da parte paterna viveva in Francia ed era un matematico di vaglia. È proprio in Francia che la famiglia di Benoit si rifugiò nel 1936, quando la situazione degli ebrei in Polonia volse al peggio.
Alla fine della guerra il giovane si fece notare come uno dei migliori studenti di matematica dell’università di Parigi, dove si laureò nel 1947.
Da qui scelse di virare verso altri lidi spinto dalla grande aspirazione di potersi dedicare alla matematica applicata.
Approdò quindi al dipartimento di Ingegneria Aeronautica del prestigiosissimo CalTech.
Sotto il sole della California allargò, insaziabile com’era, i suoi campi di ricerca cominciando a interessarsi di teoria dell’informazione, di fisica, di statistica, di logica e struttura del linguaggio, e qui scrisse la sua tesi di dottorato.
Si spostò quindi a Princeton dove ebbe modo di lavorare con John Von Neumann, pioniere della computer Science nonché proprio della teoria dei giochi.
In seguito, una comprensibile nostalgia per l’Europa, unitamente al desiderio di esplorazione scientifica, lo indusse ad attraversare ancora una volta l’Atlantico e venne accolto a braccia aperte dallo psicologo Jean Piaget a Ginevra. Ma ogni realtà era troppo piccola e inadeguata per lui: impossibile relegarlo dietro una cattedra universitaria seppur prestigiosa, o rinchiuderlo in un laboratorio di ricerca. Era troppo eclettico per lasciarsi inquadrare. Da esploratore indomito attraversò nuovamente l’oceano e il suo peregrinare si concluse per modo di dire al Thomas J. Watson Research Center della IBM nello stato di New York.
Gli piaceva autodefinirsi un aspirante Keplero della complessità, paragonandosi al famoso e rivoluzionario scienziato del ‘600. Poi la svolta definitiva.
All’inizio degli anni ’70 un amico matematico gli suggerì di smetterla di pubblicare saggi su argomenti tanto eterogenei e di provare a dirigerli in una direzione più precisa.
Il consiglio fu seguito e Benoit mise a fuoco la sua teoria unificatrice. Diede alla sua brillante idea un nome curioso ed evocativo allo stesso tempo: frattale. Ma cos’è un frattale? Beh, proviamo a spiegarlo nella maniera più semplice possibile. Prendiamo un broccolo romanesco. Non stiamo scherzando: il broccolo romanesco è forse il più semplice e miglior esempio di frattale a nostra disposizione. Questo semplice vegetale, a causa della sua forma stupefacente, alimenta da quasi un secolo a questa parte, profondi e complessi quesiti in biologia e matematica.
E’ infatti un oggetto abbastanza sofisticato che gode di una proprietà sorprendente: guardato a scale diverse sembra sempre la stessa cosa, la sua forma si ripete.
Se ad esempio lo guardiamo sui banchi di un supermercato a una distanza di dieci metri, i nostri occhi e la nostra mente tenderanno a identificarne la forma come una sorta di piramide. A questo punto decidiamo di acquistarlo e ci avviciniamo per vedere il prezzo. Lo prendiamo in mano soppesandolo ben bene. Noteremo per prima cosa che la sua superficie è costituita da rilievi geometrici e bitorzoluti che si ripetono e si intrecciano in una spirale.
Se poi si osserva ancora più da vicino un singolo bitorzolo, si scopre che anche questo è a sua volta fatto di bitorzoli più piccoli che sono disposti secondo lo stesso schema.
Fondamentalmente, quindi, il broccolo romano è “riempito” da una gran quantità di miniature di broccoli romani, ripete la sua struttura come se fosse una matrioska a infiniti pezzi. L’effetto è quasi ipnotico.
A prima vista, questo tipo di strutture sembrano inusuali o addirittura bizzarre, ma si applicano a ogni cosa, dai broccoli romani alla struttura dell’universo, rivelando il segreto della armonia interna della natura.
Se, ad esempio, passeggiando in un bosco ci mettiamo a osservare le cortecce degli alberi, vedremo che esse hanno una struttura simile, con alcune scanalature profonde e altre superficiali.
Se si spezza un ramo ci sembrerà di avere in mano un albero in miniatura. C’è lo stesso gioco di diramazioni che continua in sé stesso. Ma perché la natura preferisce costruire oggetti così complessi?
Nel caso dell’albero la spiegazione è semplice: più è ramificato e più superficie è in grado di coprire, e più superficie copre più aumenta la sua capacità di assorbire anidride carbonica e quindi di produrre ossigeno.
Un esempio simile possiamo averlo guardando i nostri polmoni, che osservati al microscopio appaiono ricoperti da un complicatissimo intrico di vene. La loro funzione è quella di incamerare l’ossigeno che deve essere trasmesso al sistema circolatorio. Capiamo bene che più sono fitte e numerose le vene sulla loro superficie esterna, più agevole ed efficiente sarà il processo di ossigenazione. La geometria frattale è ovunque intorno a noi: felci, cespugli, crateri della Luna, fluttuazioni del mercato azionario, l’incidenza di grandi e piccole alluvioni, i movimenti delle rocce nelle profondità della Terra che causano i terremoti. E’ un elenco sterminato, c’è chi ne fa opere d’arte astratta e addirittura chi pensa che in futuro potremo applicarlo anche alla psiche e ai sentimenti. Ma questa è un’altra storia naturalmente, ben più rischiosa dei mercati finanziari e quindi non ci addentriamo. Una precisazione è doverosa: storicamente i frattali non sono scaturiti all’improvviso dalla mente geniale di Mandelbrot, poiché già alla fine del IX secolo, gli analisti si divertivano a trovare esempi di “funzioni patologiche” che avevano un comportamento inaspettato.
Mandelbrot comunque è di fatto il padre della geometria frattale, ma la radice di questa geometria possiamo trovarla in matematici come Cantor o Peano, che ad esempio aveva definito la curva che porta il suo nome, una linea che riempiva un quadrato. Una evoluzione in questa direzione era stata apportata da Koch: la curva a fiocco di neve che aveva una lunghezza infinita pur contenendo un’area finita. Entrambi gli esempi hanno alcune proprietà in comune.
Innanzitutto sono ottenuti con un processo che si ripete all’infinito, e quindi non possiamo disegnarne che un’approssimazione; in secondo luogo questo processo da un punto di vista matematico viene definito autosimile, nel senso che a ogni passo la figura parziale che si ottiene è una complicazione della struttura creata al passo precedente formata unendo più copie rimpicciolite della struttura stessa.
Addentratosi in questi argomenti di matematica pura Mandelbrot portò avanti il suo percorso scientifico non convenzionale, e pur essendo caratterialmente portato a fare affidamento sull’intuizione, riuscì a dimostrare rigorosamente che si potevano capire questi tipi di strutture complesse applicando e reiterando regole semplici.
Fu quindi effettivamente un piccolo Keplero, ma armato di microscopio.
Con il suo approccio alla matematica quasi visionario, diede luogo a una rara, rivoluzione, cosa insolita in matematica, dove si procede apponendo tasselli di conoscenza gli uni sugli altri, gradualmente e senza i sovvertimenti tipici di altri rami del sapere scientifico. A metà anni ‘70 Mandelbrot era ormai famoso in tutto il mondo, come un marinaio che dalla cima di una nave, ha intravisto per primo una terra sconosciuta. Nella sua autobiografia scrisse che in realtà le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste di un’isola non sono cerchi e le cortecce non sono lisce. Neppure i fulmini viaggiano secondo una linea dritta.
Naturalmente in fase iniziale, non tutta la comunità scientifica era unita nel riconoscere l’importanza e l’utilità dei frattali. Molti si chiedevano se fossero da accantonare o se si potesse davvero sviluppare una teoria matematica che approfondisse la struttura di un broccolo! L’incertezza spronò un’intera generazione di scienziati e matematici che cominciarono a studiare e ad approfondire non solo la forma dei frattali, ma anche i processi che li generavano.
Adesso i frattali hanno valicato i confini della matematica invadendo territori di competenza di molte scienze, fino a quelli dell’arte e della musica. Basta cliccare in rete per avere lo schermo invaso da spirali che si avvolgono su altri vortici, scacchiere che si ripetono, sottili ramificazioni che crescono all’infinito. Sono rappresentazioni grafiche di «frattali» tracciate da potenti programmi di grafica. Tutti siamo cresciuti alla scuola della geometria di Euclide abituandoci a pensare che la natura sia lineare e rigidamente consequenziale. Ma la realtà è molto più complessa, i fenomeni spesso non sono lineari, un insieme di fenomeni sfocia nel caos. Il mondo è dei frattali, dal latino “fractus”, spezzato.
Frattali sono le figure geometriche la cui dimensione non è intera ma frazionaria: il punto non ha dimensioni, la retta ne ha una, il quadrato due, il cubo tre. I frattali invece possono avere qualsiasi altro valore intermedio.
Questa dimensione frazionaria può affascinare sia gli esperti sia chi non ha dimestichezza con la matematica. C’è infatti qualcosa di artistico negli insiemi frattali e non mancano gruppi New Age che adoperano rappresentazioni grafiche dei frattali come strumento per fare meditazione.
Noi ci incantiamo nell’osservarli, al pari del geniale romanziere di solidissima formazione fisico-matematica Arthur C. Clarke, famoso per il racconto che ha poi portato alla realizzazione del film “2001:Odissea nello spazio”. L’universo stesso può essere descritto come un unico gigantesco frattale di frattali. Mandelbrot ha scoperto le leggi geometriche che si nascondono dietro i frattali, le ha tradotte in formule matematiche e poi in programmi per computer. A loro volta i computer hanno permesso di tradurre in immagini le conseguenze delle leggi intuite da matematici, fisici, biologi, dando vita a una geometria informatico sperimentale.
Il meteorologo Lorenz ad esempio, scopritore degli “attrattori strani” – tipico esempio di comportamento caotico – scrisse che “Un battito d’ali di una farfalla ai Tropici può scatenare un nubifragio su New York”.
I frattali di Mandelbrot sono la miglior descrizione del caos a nostra disposizione, che ci sono indispensabili per lo studio dei cosiddetti moti Browniani e dei modelli che cercano di interpretare i movimenti delle particelle che si urtano tra loro all’interno dei fluidi.
Veniamo adesso a un esempio più attuale e interessante di applicazione del concetto di frattale: le commodities. Ma che cosa sono le commodities?
Beh innanzi tutto diciamo che sono oggetti da cui gli investitori non professionisti dovrebbero tenersi alla larga. Per gli speculatori però sono il pane e burro quotidiano, perché chiunque sia un poco addentro all’altissima finanza sa bene che quanto avviene nei mercati è solo in apparenza casuale. Questo argomento circa la casualità o meno di quanto accade in borsa è un argomento ampiamente dibattuto nella comunità degli economisti.
Mandelbrot stesso spese gran parte degli ultimi dieci anni a trovare strutture frattali nei mercati monetari per capire le regole soggiacenti alle grandi fluttuazioni, spalancando la strada a nuovi paradigmi d’interpretazione dei fenomeni statistici.
Un insolito matematico sognatore che, come pochi prima di lui, ha fatto ordine nel caos. Un consiglio per affrontare la malinconia che ci coglie tutti alla fine dell’estate. Possiamo divertirci disegnando un insieme di Mandelbrot. Online si trovano le istruzioni, bastano un foglio e tre matite colorate per immergersi in una realtà fantasmagorica. Se avrete un pochino di pazienza vedrete fiorire sotto le vostre mani un labirinto dalle geometrie esatte, magari non perfette come quelle che vengono disegnate dal computer attraverso costosi programmi di grafica, ma c’è da scommettere che resterete soddisfatti del risultato. Naturalmente potrete fermarvi quando volete, ma più andrete avanti più complesso e pittoresco sarà il risultato.
Alla fine vi sembrerà comunque di aver prodotto un’opera d’arte.
Con questo vorremmo augurare buon rientro a tutti.
Maggioranze come in giostra
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