Gesuiti, Euclidei…

Cerco un centro di gravità permanente

che non mi faccia mai cambiare idea

Franco Battiato

Ci eravamo lasciati parlando di quelle esotiche geometrie definite non euclidee, ripromettendoci che avremmo indagato su quanto avevano inciso nell’evoluzione scientifica del XX secolo, con particolare riferimento all’enorme crisi avvenuta nella Fisica. 

Vi starete innanzitutto chiedendo il perché del titolo. 

Conosciamo tutti la canzone di Battiato “Cerco un centro di gravità permanente”, anche se magari non abbiamo in mente la strofa in cui si parla di “gesuiti, euclidei”. 

Come ricorderete, uno dei matematici incontrati la volta scorsa, Saccheri, pioniere delle geometrie non-euclidee, era un gesuita, euclideo. 

Almeno fino a un certo punto del proprio percorso.

La geometria euclidea, ritenuta per millenni un modello aulico di teoria scientifica, durante lo sviluppo della scienza moderna, era stata il linguaggio stesso della realtà materiale, ma si era dimostrata una teoria matematica come tutte le altre, passibile di venire criticata, disattesa o addirittura stravolta. 

L’avvento delle geometrie non euclidee fu un cambiamento traumatico anzi, fu una vera e propria scelta fondazionale, al tempo stesso sia matematica che filosofica.

È obbligatorio procedere per gradi per capire in profondità quello di cui vogliamo parlare, dando però per certo che è impossibile sviscerare un problema così complesso in poche pagine. 

Sappiamo già che esistono tre possibili tipi di curvatura per la caratterizzazione di un qualunque spazio geometrico. 

Riemann aveva creato una formalizzazione matematica in grado di tener conto di queste tre possibilità, riuscendo anche a trovare una soluzione generale al problema di caratterizzare tutte le geometrie attraverso le loro proprietà intrinseche. 

La moderna geometria differenziale è nata in questo modo. 

Un nuovo attore è comparso sulla scena: lo spazio-tempo, che ha una dimensione in più rispetto al “semplice” spazio. 

Alle tre coordinate cartesiane con cui abbiamo preso confidenza sui banchi di scuola, dobbiamo aggiungerne una quarta: il tempo. 

Agli inizi del XX secolo, Minkowski prese a prestito dalla geometria alcune nozioni per sviluppare la sua idea di un tessuto spazio-temporale assoluto. 

Se, come ben sappiamo, Einstein scelse di approfondire la natura dello spazio-tempo usando coordinate spaziotemporali dipendenti dal sistema di riferimento, Minkowski identificò un tessuto spazio-temporale indipendente dall’osservatore, utile ai fini della caratterizzazione di qualsiasi situazione fisica. 

Il tessuto spazio-temporale è una nozione molto importante che caratterizza la geometria determinata dal campo gravitazionale, in relazione a una particolare distribuzione dell’energia e della materia. 

Tra i “due padri fondatori” di una nuova visione del tutto, non correva affatto buon sangue, anzi a dire la verità neppure stimavano più di tanto. 

Minkowski fu infatti professore di Einstein al politecnico di Zurigo e giudicava quello scapigliato e baffuto studente “un cane pigro”. 

Da parte sua Einstein, in prima battuta, si oppose alle riformulazioni “spaziotemporali” compiute dal suo vecchio insegnante, poiché le riteneva eccessivamente complicate e tentò, per quanto possibile, di non usarle.

Dovette tuttavia capitolare, poiché erano che l’unico modo praticabile di spiegare la gravità all’interno della sua teoria relativistica. 

La Teoria della Relatività, per come era stata concepita inizialmente, non si poteva considerare una costruzione puramente astratta, ma nasceva da esigenze concrete sorte quando lo scienziato tedesco, subito dopo il conseguimento della laurea, aveva trovato impiego all’ufficio Brevetti di Berna. 

In particolare Einstein era stato costretto ad affrontare il problema della sincronizzazione degli orari dei treni. 

Può sembrare una questione banale ma non lo è affatto.

Se infatti volessi sincronizzare il mio orologio con quello di un qualunque passeggero che si trovi a bordo di un treno in movimento, dovrei obbligatoriamente tenere conto del ritardo accumulato dal segnale che va da me a lui: per quanto veloce, anche la luce ha una velocità finita. 

Di conseguenza, sincronizzare il proprio orologio con quello di una persona seduta accanto a noi, non è come sincronizzarlo con quello di una persona che si trova su un altro vagone.

Per questo alla fine Einstein, pur riluttante, non poté fare a meno di ammettere che l’idea del tessuto spazio-temporale fosse essenziale per la teoria della Relatività Generale. 

E’ importante chiarire da subito che lo stesso Einstein non si proponeva di stravolgere la fisica di Newton, che in effetti continuava e continua ad essere valida se applicata a sistemi caratterizzati da velocità, massa o energia non troppo elevate. 

Per certi versi il percorso intrapreso, condusse ben più lontano di quanto ci si potesse aspettare inizialmente.

Fu al termine di un’avventura scientifica senza eguali, che divenne possibile interpretare la curvatura dello spazio-tempo equivalente alla gravità, ponendo l’ultima carta sul castello della Relatività Generale. 

E questo castello non crollò ma anzi, si fortificò assumendo quella solidità che gli permette, a più di un secolo di distanza, di ergersi inespugnabile. 

La gravità, che siamo abituati semplicemente a considerare come la forza che ci tiene incollati al suolo, non è più solo una forza che agisce direttamente sugli oggetti, bensì la conseguenza della geometria dello spazio-tempo. 

Questa connessione soggiace alla Teoria della Relatività e sfrutta il legame tra massa inerziale e massa gravitazionale, per formulare gli effetti della gravità esclusivamente nei termini della geometria dello spazio-tempo. 

Qualunque distribuzione di materia e di energia incurva e deforma lo spazio-tempo. 

In tal modo il moto dei corpi assoggettati alla forza di gravità si sviluppa su percorsi curvi: la materia e l’energia dell’universo fanno sì che lo spazio-tempo medesimo si espanda, oscilli o si contragga. 

Nello spazio piano la distanza più breve tra due punti, la geodetica, è una linea retta. 

Nello spazio curvo possiamo ancora definire una geodetica come il percorso più breve tracciato fra due punti, ma esso non apparirà necessariamente rettilineo. 

Per esempio, le rotte degli aeroplani che seguono un cerchio massimo intorno alla Terra, sono geodetiche. 

Per quanto questi percorsi non siano perfettamente rettilinei sono, a tutti gli effetti, le rotte più brevi per congiungere due punti della Terra senza attraversarla da parte a parte. 

Anche nello spazio-tempo quadridimensionale possiamo definire una geodetica come il percorso più breve per connettere due eventi separati nel tempo. 

Einstein comprese che la traiettoria di un corpo in caduta libera, cioè il percorso che incontra la minore resistenza, si sviluppa lungo la geodetica spazio-temporale. 

Tuttavia, anche quando gli oggetti si spostano lungo le geodetiche dello spazio-tempo e in assenza di forze esterne, la gravità ha effetti rilevabili. L’equivalenza fra la gravità e l’accelerazione fu uno dei cardini su cui Einstein imperniò una concezione innovativa della gravità, arrivando alla conclusione che, poiché l’accelerazione indotta localmente dalla forza gravitazionale è la stessa per tutte le masse, la gravità deve essere una proprietà dello spazio-tempo. 

Per questo caduta libera significa cose diverse in luoghi diversi, ed è solo localmente che la gravità può essere sostituita da un’accelerazione. 

Il fatto che la direzione della caduta libera non sia la medesima ovunque riflette la curvatura dello spazio-tempo.

Per questo in linea generale, nello spazio-tempo, le geodetiche appartenenti a diversi osservatori, saranno diverse. 

Con la Relatività Generale ci si spinge ben oltre la Teoria della Gravità di Newton, in quanto la prima rispetto alla seconda, ci consente di calcolare il campo gravitazionale relativistico di qualsiasi distribuzione di energia e materia. 

Naturalmente la teoria newtoniana della gravitazione, pur essendo una approssimazione, è più che sufficiente a descrivere in maniera accurata quello che avviene nella vita quotidiana, ma non sarebbe ad esempio adeguata per capire cosa avviene all’interno di un buco nero.

Inoltre, la geometria dello spazio-tempo ha permesso di colmare una grossa lacuna nella formulazione originaria della gravità.

Adesso è ormai un fatto assodato che il campo gravitazionale sia una distorsione del tessuto spazio-temporale provocato dalla materia e dall’energia, ed è anche acclarato che questa distorsione si estenda in tutto il cosmo. 

Tutti gli effetti gravitazionali di queste situazioni complesse possono essere incorporati nelle ondulazioni di una superficie spazio-temporale. 

La figura che abbiamo scelto per illustrare l’argomento di cui stiamo parlando può aiutarci a capire come materia ed energia, creando un campo gravitazionale, distorcano il tessuto spazio-temporale. 

La figura mostra un corpo sferico appoggiato su una sorta di lenzuolo che, nello spazio attorno alla sfera, viene stiracchiato.

Un oggetto che passi nelle vicinanze cadrà nella depressione in cui si trova il corpo sferico. 

Il tessuto spazio-temporale si distorce in un modo simile. 

Un oggetto di passaggio verrebbe accelerato verso il centro del corpo sferico, in perfetto accordo con le previsioni di Newton.

Mi raccomando, non fidatevi però ciecamente di una illustrazione, perché non può che essere approssimativa. 

Innanzitutto lo spazio rappresentato intorno al corpo sferico è bidimensionale, ma in realtà la distorsione coinvolge tutto lo spazio tridimensionale, anzi tutto lo spazio-tempo quadridimensionale.

Il tempo viene, per così dire, arrotolato in quanto è “solo” una dimensione aggiuntiva, e come una dimensione può essere trattato.

Un’altra avvertenza di cui tenere conto è che una palla che rotoli nella geometria curva determinata dal corpo sferico, influenzerebbe essa stessa la geometria dello spazio-tempo. 

Abbiamo infatti assunto che la massa di questa palla sia molto più piccola di quella del corpo sferico, trascurandone l’influenza. 

Terzo, ultimo ma non meno importante fattore da tenere in considerazione è che l’oggetto che distorce lo spazio-tempo può avere qualsiasi numero di dimensioni. 

In soldoni, anche se può sembrare una affermazione filosofica volutamente contorta, lo spazio-tempo s’incurva seguendo gli “ordini” della materia, ma è lo spazio-tempo a dire alla materia come muoversi.

Inoltre, il campo gravitazionale trasporta energia ed è a causa di questo che i calcoli sui campi gravitazionali sono molto più complessi di quanto avviene per i campi studiati dalla gravità newtoniana.  

Sono la materia e l’energia a flettere lo spazio dando origine alla gravità.

La Relatività Generale ha l’ulteriore vantaggio di incorporare qualsiasi energia, inclusa quella dello stesso campo gravitazionale, nella distribuzione di materia ed energia.

Questo fatto rende tale teoria utile anche in situazioni in cui la stessa gravità fornisce un importante contributo energetico. 

Dato che si applicano a qualunque distribuzione di energia, le equazioni di Einstein hanno completamente rivoluzionato il punto di vista di astrofisici e cosmologi, con conseguenze inaspettate per la nostra comprensione e concezione dell’universo. 

Non sono poi mancate conseguenze filosofiche e, come spesso accade, si sono avuti riflessi un po’ naive anche in psicologia. 

Spesso infatti nel parlare quotidiano, quando con un vicino di casa, ci si lagna del fatto che invecchiando aumentino acciacchi e doloretti, la frase consolatoria più frequente è “Ma dai, non preoccupiamoci. 

Il tempo è relativo, l’ha detto anche Einstein”. 

In effetti però non era proprio quello che lo scienziato intendeva. 

Anzi,  il fisico tedesco era piuttosto tormentato dal passare del tempo, probabilmente perché, come tutte le menti curiose, lo ossessionava l’idea di non aver abbastanza anni a disposizione per capire tutto. 

C’è da aggiungere che Einstein non amava parlare di “relatività”, ma avrebbe preferito che venisse utilizzato il termine Invariantentheorie. Questo almeno è quanto troviamo scritto in un carteggio risalente al 1921 con l’amico Zschimmer. 

Ormai però il termine Relatività era entrato nell’uso comune, anche se pochi avevano capito di che cosa si trattasse realmente e nessuno poteva, soprattutto per i limiti tecnologici dell’epoca, prevedere che fosse una rivoluzione.

Naturalmente, vale sempre la pena di ribadirlo, tutte le conseguenze che la Relatività Generale implica, non sarebbero state minimamente concepibili e tantomeno calcolabili, con l’uso dei principi di Newton. 

L’impatto avuto dalla Relatività Generale sul mondo scientifico e tecnologico è stato tale che adesso se ne tiene conto anche nella costruzione di strumenti d’uso quotidiano, come ad esempio i navigatori GPS.

Ma gli esperimenti ancora in atto presso i più prestigiosi istituti di ricerca sparsi nel mondo, continuano a fornirci prove dell’esattezza delle previsioni e delle intuizioni di Einstein.

L’avventura continua.